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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 34 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Per trasportare una valigia Antonio usa un carretto inclinato come mostra la figura. Solleva il carretto esercitando una forza di $68\: N$ e afferrando il manico del carretto a $1,70\: m$ dalle ruote. La valigia si trova a $40\: cm$ dalle ruote. Quanto pesa la valigia?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che Antonio riesce a trasportare il tutto se i due momenti rispetto all’asse di rotazione si equivalgono in modulo (condizione per avere l’equilibrio, altrimenti il carretto ruoterebbe), quindi possiamo già dire che

$M_A=M_p\Rightarrow b_A\cdot F_A\cdot \sin{\hat{b_AF_A}}=b_p\cdot F_p\cdot \sin{\hat{b_pF_p}}$

da cui

$F_p={b_A\cdot F_A\cdot \sin{\hat{b_AF_A}}\over b_p\cdot\sin{\hat{b_pF_p}}}={1,7\: m\cdot 68\: N \cdot \sin{145^\circ}\over 0,4\: m \cdot \sin{75^\circ}}\approx 172\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 33 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una scatola portagioie è un parallelepipedo con un coperchio e una base rettangolari, di lato corto $16\: cm$ . Il coperchio è vincolato a ruotare attorno al lato lungo. Per aprire la scatola, Grazia applica al coperchio, di massa $120\: g$ , una forza di $2,0\: N$ che forma un angolo di $45^\circ$ rispetto alla direzione orizzontale. Calcola i momenti della forza peso del coperchio e della forza applicata da Grazia.

SVOLGIMENTO

Per calcolare i due momenti sappiamo che in generale il modulo del momento $\vec{M}$ di una forza $\vec{F}$ di braccio $\vec{b}$ si calcola facendo

$M=b\cdot F\cdot \sin{\hat{bF}}$

per cui nei nostri due casi avremo

$M_G=0,16\: m \cdot 2,0\: N\cdot \sin{45^\circ}\approx 0,23 \: N\cdot m$

mentre, considerando il punto di applicazione della forza peso nell’incrocio delle diagonali del rettangolo (cosa vera se la distribuzione della massa nel coperchio del portagioie è omogenea), avremo che

$M_p=0,08\: m\cdot 0,120\: kg\cdot 9,81\:N/kg\cdot \sin{90^\circ}\approx 0,094\: N\cdot m$

Notiamo esplicitamente che stiamo calcolando il modulo dei momenti, infatti a livello vettoriale i due vettori hanno verso opposto in quanto provocano una rotazione opposta nel coperchio del portagioie.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 32 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una bilancia a bracci disuguali, uno di $38\: cm$ l’altro di $23\: cm$ , è in equilibrio. Sul piatto appeso al braccio più lungo è appoggiata una bottiglia d’acqua da $1,0\: L$ . Sull’altro piatto c’è un libro. Quanto pesa il libro? Quanto vale il modulo della reazione vincolare sul perno della bilancia?

SVOLGIMENTO

Se la bilancia è in equilibrio vuol dire che il momento complessivo che agisce sulla bilancia è nullo, pertanto i due momenti, che hanno verso opposto, sono di modulo uguale, ossia:

$F_p^B\cdot b_B=F_p^L\cdot b_L\Rightarrow F_p^L={F_p^B\cdot b_B\over b_L}={1\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,38\: m\over 0,23\: m}\approx 16,2\: N$

La reazione vincolare sul perno della bilancia è la forza che tiene “sospesa” la bilancia, quindi equivale alla somma delle due forze peso applicate sui bracci della bilancia, cioè

$F_{vincolare}=F_p^B+F_p^L=9,81\: N+16,2\: N\approx 26\: N$

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Esercizio 31 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un operaio solleva un tombino quadrato di massa $16\: kg$ facendolo ruotare attorno a un suo lato per mezzo di un gancio attaccato all’estremità opposto, che tira con una forza di modulo $100\: N$ . Il lato del tombino è lungo $24\: cm$ e la massa del tombino è uniformemente distribuita. Il modulo del momento totale applicato al tombino è $4,0\: N\cdot m$ . Calcola l’angolo tra la forza applicata dall’operaio e il tombino.

SVOLGIMENTO

Sicuramente sappiamo che il momento totale applicato al tombino sarà uguale alla somma vettoriale del momento della forza applicata dall’operaio e il momento della forza peso del tombino (osserviamo anche che la forza peso, siccome la massa del tombino è distribuita uniformemente sarà applicata nel suo punto centrale). Sappiamo anche che i due momenti sono opposti, quindi il modulo complessivo lo calcolo facendo

$M=M_o-M_p$

da cui, sostituendo la formula dei due momenti

$M=F_o\cdot b_o\cdot \sin{\alpha}-F_p\cdot b_p$

siccome la forza peso è perpendicolare al tombino $M_p=F_p\cdot b_p$ . Per cui

$\sin{\alpha}={M+F_p\cdot b_p\over F_o\cdot b_o}={4,0\: N\cdot m+16\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,12\: m\over 100\: N\cdot 0,24\: m}\approx 0,95$

quindi

$\alpha=\arcsin{0,95}\approx 72^\circ$

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Esercizio 30 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Uno svitatappi con il manico di $17\: cm$ viene utilizzato per aprire un barattolo. Il tappo si svita se viene applicata una forza di $120\: N$ . Luca riesce ad applicare al massimo una forza inferiore di un terzo. Calcola il momento della forza necessario per svitare il tappo. Quanto dovrebbe essere lungo il manico dello svitatappi adatto a Luca?

SVOLGIMENTO

Innanzitutto calcoliamo la forza che Luca riesce ad imprimere allo svitatappi $F_L=120\: N-{1\over 3}\cdot 120\: N=80\: N$ . A questo punto rispondiamo alle due domande, il modulo del momento di una forza si calcola facendo

$M=b\cdot F=0,17 \: m \cdot 120\: N=20,4 \: N\cdot m$

Per rispondere alla seconda domanda dobbiamo chiederci quanto dovrebbe essere lungo il braccio della forza per esercitare un momento di $20,4\: N\cdot m$ con una forza di $80\: N$ , quindi

$M=b\cdot F_L\Rightarrow b={M\over F_L}={20,4\:N\cdot m\over 80\: N}\approx 0,26\: m$

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Esercizio 29 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La forza $\vec{F}=(3\: N)\hat{x}-(5\: N)\hat{y}$ viene applicata su un oggetto nel punto di coordinate $P=(2\: ; \: -4)\: m$ . Calcola il momento della forza rispetto all’origine del sistema di riferimento cartesiano.

SVOLGIMENTO

Innanzitutto osserviamo che il momento della forza, inteso come vettore, è un vettore perpendicolare sia al braccio della forza che alla forza stessa, pertanto in questa configurazione il momento “uscirà” dal piano $xy$ lunga la direzione $\hat{z}$ . Per calcolare il modulo del vettore $\vec{M}$ abbiamo pertanto bisogno della lunghezza del braccio, del modulo della forza e dell’angolo formato tra di loro.

$F=\sqrt{3^2+(-5)^2}\: N=\sqrt{34}\: N$

$b=\sqrt{2^2+(-4)^2}\: m=\sqrt{20}\: m$

$\hat{bF}=\arccos{3\cdot 2+(-5)\cdot (-4)\over \sqrt{34}\cdot \sqrt{20}}\approx 4,4^\circ$

da cui

$M=b\cdot F\cdot \sin{\hat{bF}}=\sqrt{34}\: N\cdot \sqrt{20}\: m\cdot \sin{4,4^\circ}=2\: N\cdot m$

inoltre effettivamente il verso sarà quello uscente dal foglio lungo la direzione $\hat{z}$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 28 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Lorenzo cerca di aprire una porta e Giovanni tenta di impedirglielo. Entrambi esercitano una forza perpendicolare alla porta. Lorenzo esercita una forza di $151\: N$ applicata a $70\: cm$ dai cardini mentre Giovanni esercita una forza di $200\: N$ applicata a $50\: cm$ dai cardini. Calcola il momento complessivo delle forze rispetto ai cardini della porta. La porta si apre o rimane chiusa?

SVOLGIMENTO

Per calcolare il momento ci basta calcolare i due momenti separatamente e poi sommarli (sottraendo i moduli perchè i due momenti saranno opposti). Per cui

$M_{tot}=M_L-M_G=F_L\cdot b_L-F_G\cdot b_G=151\: N\cdot 0,7\: m-200\: N\cdot 0,5\: m=5,7 \: N\cdot m$

Il fatto che il segno del risultato sia positivo ci dice che il momento “vincente” è quello di Lorenzo, il quale cerca di aprire la porta, pertanto la porta si aprirà.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 27 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La forza $\vec{F}=(2;\: 3)\: N$ viene applicata su un oggetto nel punto di coordinate $P=(-4;\: -6)\: m$ . Calcola il momento della forza rispetto all’origine del sistema di riferimento cartesiano.

SVOLGIMENTO

Per calcolare questo modulo occorre calcolare il braccio della forza, il modulo della forza e l’angolo formato dal braccio e la forza. Allora

$F=\sqrt{2^2+3^2}\: N=\sqrt{13}\: N\approx 3,6\: N$

$b=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}\: m=\sqrt{52}\: m\approx 7,2\: m$

Per questo esercizio calcoliamo anche esplicitamente l’angolo utilizzando il prodotto scalare tra vettori, infatti sappiamo che da una parte

$\vec{b}\cdot\vec{F}=b\cdot F\cdot \cos{\hat{bF}}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{52}\cdot \cos{\hat{bF}}$

e d’altra parte

$\vec{b}\cdot\vec{F}=2\cdot (-4)+3\cdot (-6)=-26$

per cui

$\cos{\hat{bF}}={-26\over\sqrt{13}\cdot \sqrt{52}}=-1\Rightarrow \hat{bF}=180^\circ$

in definitiva

$M=b\cdot F\cdot \sin{\hat{bF}}=0\: N\cdot m$

Questo geometricamente si poteva dedurre anche dal disegno cartesiano dell’esercizio, in quanto risulta evidente che forza e braccio sono parallele.

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Esercizio 26 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Su una tavoletta quadrata di lato $3,0\: cm$ vengono applicate quattro forze con la stessa intensità pari a $10\: N$ come nella figura. Calcola il momento risultante rispetto al centro del quadrato.

SVOLGIMENTO

Per calcolare il momento di più forze possiamo calcolare il momento delle singole forze e poi sommarli, in questo caso abbiamo quattro forze. Innanzitutto osserviamo che le tre forze $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ e $\vec{F}_3$ hanno un momento concorde (questo lo possiamo facilmente osservare applicando la regola della mano destra), mentre il momento di $\vec{F}_4$ sarà discorde, pertanto si avrà

$M_{tot}=M_1+M_2+M_3-M_4$

Calcoliamo ora i singoli momenti:

$M_1=b_1\cdot F_1\cdot\sin{\hat{b_1F_1}}=0 \: N\cdot m$

questo è nullo perchè la forza e il braccio sono paralleli

$M_2=b_2\cdot F_2\cdot \sin{\hat{b_2F_2}}=0,02\: m\cdot 10\: N \cdot\sin{135^\circ}\approx 0,15\: N\cdot m$

$M_3=b_3\cdot F_3\cdot \sin{\hat{b_3F_3}}=0,02\: m\cdot 10\: N \cdot\sin{90^\circ}\approx 0,21\: N\cdot m$

$M_4=b_4\cdot F_4\cdot \sin{\hat{b_4F_4}}=0,02\: m\cdot 10\: N \cdot\sin{135^\circ}\approx 0,15\: N\cdot m$

dove osservo esplicitamente che $b_2=b_3=b_4=\sqrt{18}/2\: cm\approx 2,12\: cm$ , ovvero mezza diagonale del quadrato.
Risulta in definitiva

$M_{tot}=M_1+M_2+M_3-M_4=0 \: N\cdot m+ 0,15\: N\cdot m+0,21\: N\cdot m-0,15\: N\cdot m=0,21\: N\cdot m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 25 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un cowboy spinge un’anta della porta di un saloon larga $60\: cm$ con una forza $\vec{F}$ applicata all’estremità della porta. La retta d’azione della forza forma un angolo di $85^\circ$ con l’anta e il modulo del momento è $M=40\: N\cdot m$ . Calcola il modulo della forza $\vec{F}$ .