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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 64 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

Una corda di densità costante e lunga $84\: cm$ penzola parzialmente dal bordo di un tavolo. Il coefficiente di attrito statico fra la fune e il tavolo è $0,50$ . Calcola la massima lunghezza del tratto di corda che può penzolare senza che l’intera fune cada dal tavolo

SVOLGIMENTO

Innanzitutto sappiamo che la densità è costante, il che vuol dire che ogni centimetro di fune, che considero abbia sempre lo stesso volume, avrà esattamente la stessa massa (ciò equivale ad esprimere la densità in $kg/m$ assumendo che lo spessore della fune non vari). Una volta osservato questo avremo che la forza con cui la fune tende a cadere dal tavolo sarà la forza peso della parte che penzola, ossia

$F_p=L_{penzola}\cdot d\cdot g$

mentre la forza di attrito sarà

$F_a=F_\bot\cdot \mu=L_{rimanente}\cdot d\cdot g\cdot \mu$

da cui, osservando che $L_{rimanente}=L_{tot}-L_{penzola}$ , risulta

$F_a=(L_{tot}-L_{penzola})\cdot d\cdot g\cdot \mu$

A questo punto sappiamo che la corda rimarrà sul tavolo esclusivamente se la forza peso della corda pendente sarà minore o uguale alla forza di attrito, ossia

$F_p\leq F_a$

$L_{penzola}\cdot d\cdot g\leq (L_{tot}-L_{penzola})\cdot d\cdot g\cdot \mu$

da cui, semplificando sia la densità $d$ che $g$ , e risolvendo la disequazione, risulta

$L_{penzola}\leq{L_{tot}\cdot \mu\over 1+\mu}$

$L_{penzola}\leq{0,84\: m\cdot 0,50\over 1+0,50}=0,28\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 63 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una ruota di bicicletta è appoggiata a un gradino di altezza $h=12\: cm$ . La ruota pesa $25\: N$ e il suo raggio $r$ misura $34\: cm$ . Calcola il minimo modulo della forza $\vec{F}$ orizzontale che bisogna applicare alla ruota all’altezza del suo centro, in modo che la ruota salga sul gradino.

SVOLGIMENTO

A livello teorico abbiamo una rotazione rispetto al punto in cui il gradino tocca la ruota se il momento della forza $\vec{F}$ risulta maggiore del momento della forza peso (dove entrambi i momenti li calcoliamo rispetto al punto di rotazione della ruota, ossia il punto di contatto tra il gradino e la ruota). Pertanto il problema diventa un problema geometrico di determinazione dei due bracci delle forze. Il braccio della forza $\vec{F}$ risulta facilmente calcolabile facendo $r-h=22\: cm$ , mentre per il braccio della forza peso applicata nel centro della ruota costruiamo il triangolo rettangolo con il raggio che va fino al punto di contatto tra ruota e gradino e parte del raggio disegnato in rosso, allora viene che

$b_{peso}=\sqrt{r^2-(r-h)^2}\approx 25,9\: cm$

Una volta calcolato questo abbiamo la rotazione se

$M_F\geq M_p$

$b_F\cdot F\geq b_{peso}\cdot F_p$

$F\geq { b_{peso}\cdot F_p\over b_F}$

$F\geq { 0,259\: m\cdot 25\: N\over 0,22\: m}\approx 29\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 62 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Il clown rappresentato nella figura pesa $890\: N$ . Quando il clown tira la corda con le mani, i suoi piedi vengono tirati all’indietro. Il coefficiente di attrito statico tra i piedi del clown e il pavimento è $0,53$ . Calcola il minimo modulo della forza con cui il clown deve tirare la corda per far slittare i suoi piedi sul pavimento.

SVOLGIMENTO

Dal punto di vista teorico dobbiamo osservare che quando il clown tira la corda, per il principio di azione e reazione, la corda solleva leggermente il clown e quindi ne riduce la forza premente e pertanto la forza di attrito, inoltre dobbiamo anche osservare che la forza che il clown esercita verso il basso viene traferita dal sistema di carrucole fino alla gamba dello stesso. Detto questo possiamo sicuramente osservare che

$F_a=F_\bot\cdot \mu$

$F_\bot=F_p-F_{tira}$

pertanto

$F_a=(F_p-F_{tira})\cdot \mu$

Concludiamo l’esercizio osservando che il clown muoverà la sua gamba esclusivamente se la forza con cui si tira è superiore della forza di attrito, ossia se

$F_{tira}\geq F_a\Rightarrow F_{tira}\geq (F_p-F_{tira})\cdot \mu$

ossia

$F_{tira}\geq {F_p\cdot \mu\over 1+\mu}$

$F_{tira}\geq {890\: N\cdot 0,53\over 1+0,53}\approx 308\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 61 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra l’insegna di un pub. La massa dell’asta è $750\: g$ e quella dell’insegna è $2,4\: kg$ . In entrambi gli oggetti le masse sono distribuite uniformemente. Calcola la tensione del cavo che regge l’estremità dell’asta.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che siamo in una situazione di equilibrio, questo fisicamente si traduce nel fatto che la risultante delle forze e la risultante dei momenti, calcolati rispetto al punto di contatto tra asta e muro, sarà nulla. Pertanto, concentrandoci sui momenti, abbiamo che

$M_{asta}+M_{insegna}=M_{fune}$

dove quest’uguaglianza in modulo dipende dal diverso segno dei vettori momenti. Da cui

$F_{asta}\cdot b_{asta}+F_{insegna}\cdot b_{insegna}=T\cdot b_{fune}\cdot \sin{20^\circ}$

$0,750\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,52\: m+2,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,70\: m=T\cdot 1,04\: m\cdot \sin{20^\circ}$

Osserviamo esplicitamente che per calcolare i bracci si utilizza l’informazione dell’omogeneità sia dell’asta che dell’insegna, quindi consideriamo la forza peso applicata nel loro baricentro.

$T={0,750\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,52\: m+2,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\cdot 0,70\: m\over 1,04\: m\cdot \sin{20^\circ}}\approx 57\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 60 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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La figura mostra due carriole che pesano $60\: N$ ciascuna e che portano la stessa quantità di terra del peso di $525\: N$ . Le strutture delle due carriole sono in posizioni diverse. Le frecce nella figura indicano i pesi dei carichi e delle carriole. Calcola i moduli delle forze che gli operai devono esercitare sulle carriole per sollevarle.

SVOLGIMENTO

Queste due carriole sono entrambe delle leve vantaggiose dove il braccio della potenza è sempre più lungo del braccio della resistenza. Analizziamo prima la prima carriola e ovviamente calcoliamo il momento complessivo sapendo che per avere l’equilibrio tale momento dovrà essere nullo, per ultima cosa osserviamo che il peso della terra e il peso della carriola determinano una rotazione inversa rispetto alla forza dell’operaio, pertanto avranno segno opposto.

$525\: N\cdot 0,40\: m+60\: N\cdot 0,60\:m=F_1\cdot 1,3\: m$

$F_2={525\: N\cdot 0,40\: m+60\: N\cdot 0,60\:m\over 1,3\: m}\approx 189\: N$

Facciamo lo stesso discorso per la carriola 2 e vediamo che

$525\: N\cdot 0\: m+60\: N\cdot 0,60\:m=F_2\cdot 1,3\: m$

$F_2={60\: N\cdot 0,60\:m\over 1,3\: m}\approx 28\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 59 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un blocco che pesa $88,9\: N$ viene spinto contro una parete applicando una forza obliqua. Il coefficiente di attrito statico fra il blocco e la parete è $0,56$ . Calcola il modulo della minima forza $F$ necessaria per mantenere fermo il blocco.

SVOLGIMENTO

La componente orizzontale della forza $\vec{F}$ è la forza premente che determina la forza attrito tra muro e blocco, quindi

$\sin{40^\circ}\cdot F\cdot \mu=F_a$

questa forza di attrito ostacolerà il moto del blocco sulla parete verticale. Per capire che tipo di movimento viene ostacolato dalla forza di attrito osserviamo che, senza tale forza, sul blocco sicuramente viene esercitata la componente $y$ della forza $\vec{F}$ e la forza peso del blocco (forze che sono dirette in verso opposto), cioè

$88,9\: N-F^y=88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

pertanto se la forza di attrito fosse maggiore di tale forza allora il blocco non potrà muoversi, pertanto la mia condizione diventa

$F_a\geq 88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

$\sin{40^\circ}\cdot F\cdot \mu\geq 88,9\: N-\cos{40^\circ}\cdot F$

da cui

$F\geq {88,9\: N\over \sin{40^\circ} \cdot \mu+\cos{40^\circ}}\approx 79\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 58 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una persona è ferma appoggiata a due stampelle. In queste condizioni il terreno esercita una forza nella direzione di ciascuna. Il coefficiente di attrito statico fra terreno e stampella è $0,90$ . Calcola l’angolo massimo $\theta_{max}$ che la stampella può formare con il terreno senza scivolare.

SVOLGIMENTO

Cerchiamo di analizzare la situazione e scrivere tutte le forze in gioco. Consideriamo che le due forze di reazione vincolare sulla base della stampella sorreggono completamente il ragazzo (che pertanto supponiamo non sia appoggiato a terra con il piede) quindi

$\vec{F}_p=\vec{F}_1+\vec{F}_2$

inoltre osserviamo che i moduli delle due forze sulle stampelle devono necessariamente essere uguali perchè altrimenti la componente orizzontale non si annullerebbe, chiamiamo tale forza $\vec{F}$ di modulo $F$ . Detto questo la relazione precedente scritta nelle due componenti $x$ e $y$ diventerà

$\sin{\theta}\cdot F_1=\sin{\theta}\cdot F_2$

$F_p=\cos{\theta}\cdot F_1+\cos{\theta}\cdot F_2$

da cui

$F_p=2\cdot \cos{\theta}\cdot F$

Concentriamoci adesso sulla forza di attrito, sappiamo che la componente $x$ della forza su ogni stampella sarà sostanzialmente la forza di attrito tra la stampella e il pavimento, quindi

$\sin{\theta}\cdot F\leq F_a$

e inoltre sappiamo anche la formula generale per calcolare la forza di attrito

$F_a=F_\bot\cdot \mu\Rightarrow F_a={F_p\over 2}\cdot \mu$

Mettendo insieme tutto questo, sostituendo $F={F_p\over 2\cdot \cos{\theta}}$ e $F_a={F_p\over 2}\cdot \mu$ nella disequazione, troviamo

$\sin{\theta}\cdot {F_p\over 2\cdot \cos{\theta}}\leq {F_p\over 2}\cdot \mu$

$\tan{\theta}\leq \mu\Rightarrow \theta\leq \arctan{0,90}\approx 42^\circ$

Quindi l’angolo massimo è ovviamente $42^\circ$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 57 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una bottiglia di vino di massa $1,4\: kg$ è posta orizzontalmente sul supporto mostrato in figura. L’angolo tra le due superfici è $90^\circ$ e la superficie di destra è inclinata di $45^\circ$ rispetto al piano orizzontale. Ciascuna di queste due superfici esercita sulla bottiglia una forza diretta perpendicolarmente alla superficie stessa. Calcola il modulo delle due forze.

SVOLGIMENTO

Innanzitutto osserviamo che necessariamente le due forze di reazione vincolare andranno a neutralizzare la forza peso della bottiglia, ossia

$\vec{F}_p=\vec{F}_{destra}+\vec{F}_{sinistra}$

pertanto, siccome gli angoli a destra e sinistra sono uguali, il modulo delle due reazioni vincolari deve essere uguale, altrimenti non si neutralizzerebbe la componente della forza lungo l’asse $x$ . Per concludere l’esercizio concentriamo sulla componente dell’asse $y$

$F_p=2\cdot F_{destra/sinistra}^y$

$m\cdot g=2\cdot \sin{45^\circ}\cdot F_{destra/sinistra}$

da cui

$F_{destra/sinistra}={m\cdot g\over 2\cdot \sin{45^\circ}}={1,4\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 2\cdot \sin{45^\circ}}\approx 9,7\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 54 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un giardiniere utilizza una vanga lunga $150\: cm$ per sradicare una pianta dal terreno: ne pone la punta sotto le radici della pianta, mentre a $40\: cm$ dalla punta un sasso funge da fulcro. La vanga forma un angolo di $25^\circ$ con il terreno; il giardiniere esercita sull’estremità del manico una forza di $300\: N$ , ma a causa di alcuni rami che intralciano i suoi movimenti è costretto ad applicare questa forza con un’inclinazione di $70^\circ$ rispetto al manico della vanga. Calcola il modulo della forza che viene applicata in direzione verticale sotto le radici della pianta.

SVOLGIMENTO

Questa è una classica leva (stile quella del gioco dell’altalena), l’unica differenza rispetto agli esercizi classici sulle leve è rappresentata dall’angolo di $70^\circ$ , per evitare questo problema ragioniamo sui momenti delle forze. Sulla vanga, che assumiamo abbia massa trascurabile, agiscono due forze, la prima è la forza con cui l’albero è ancora a terra, mentre la seconda è la forza esercitata dal giardiniere, ovviamente queste due forze determinano una rotazione della vanga rispetto al fulcro in direzione opposta, pertanto per avere l’equilibrio noi sappiamo che i momenti delle forze devono avere stesso modulo, cioè

$M_{albero}=M_{giardiniere}$

$F_a\cdot b_a\cdot \sin{65^\circ}=F_g\cdot b_g\sin{70^\circ}$

ricordando che la forza dell’albero è perpendicolare al suolo. Detto questo, e osservato che la forza dell’albero è esattamente uguale alla forza necessaria per sradicarlo, si ha che

$F_a={F_g\cdot b_g\sin{70^\circ}\over b_a\cdot \sin{65^\circ}}={300\: N\cdot 1,1\: m\sin{70^\circ}\over 0,4\: m\cdot \sin{65^\circ}}\approx 855,4\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei solidi

Esercizio 53 sull’equilibrio dei solidi – Esercizi svolti – FISICA

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Per schiacciare una noce con uno schiaccianoci Giada deve applicare una forza il cui modulo è almeno $20\: N$ . Calcola la forza necessaria per rompere il guscio della noce.

SVOLGIMENTO

Siamo di fronte a una classica leva vantaggiosa, dove il braccio della potenza è maggiore del braccio della resistenza. Dalla formula classica delle leve

$b_R\cdot F_R=b_P\cdot F_P$

si ricava immediatamente che

$F_R={b_P\cdot F_P \over b_R}={0,11\: m\cdot 20\: N \over 0,042\: m}\approx 52,4\: N$

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