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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 55 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Il braccio di una gru può esercitare al massimo una forza di intensità $F_{max}=6,0\times 10^5\: N$ . Durante le operazioni per la costruzione di un pontile in mare (densità dell’acqua $1020\: kg/m^3$ ) con il braccio della gru si devono sollevare dal fondale due basamenti (1 e 2) di forma cubica che hanno il lato rispettivamente di $3,2\: m$ e $4,5\: m$ e una massa di $150\: t$ ciascuno. Risulta possibile sollevarli con questa gru?

SVOLGIMENTO

I due blocchi sono immersi in mare, quindi su tali blocchi verrà esercitata sia la forza peso, che tenderà a far affondare i blocchi di cemento, sia la spinta di Archimede, che tenderà a far galleggiare i blocchi. Ossia

$F_1=F_1^p-F_1^a$

$F_2=F_2^p-F_2^a$

dove abbiamo scelto positiva la direzione concorde con la forza peso. Se tale forza dovesse risultare minore della $F_{max}$ allora la gru sarà in grado di alzare il blocco

$F_1=m\cdot g-V_1\cdot d\cdot g$

$F_2=m\cdot g-V_2\cdot d\cdot g$

ossia

$F_1=150000\: kg\cdot 9,81\: {N\over kg}-3,2^3\: m^3\cdot 1020\: {kg\over m^3}\cdot 9,81\: {N\over kg}\approx 1,14\times 10^6\: N$

$F_2=150000\: kg\cdot 9,81\: {N\over kg}-4,5^3\: m^3\cdot 1020\: {kg\over m^3}\cdot 9,81\: {N\over kg}\approx 5,6\times 10^5\: N$

La gru riesce a sollevare solo il secondo blocco.

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Esercizio 54 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un serbatoio alto $2,0\: m$ è riempito d’acqua fino all’orlo. L’estremità superiore del serbatoio è aperta ed è esposta all’aria. Calcola la pressione sul fondo del serbatoio.

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo esercizio si utilizza la legge di Stevino, ossia

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

dove osserviamo che $p_1$ , ossia la pressione alla quota $h=0\: m$ , è la pressione atmosferica, questo perchè ci viene detto esplicitamente che il serbatoio è aperto sulla sommità. Pertanto

$p_2=101325\: Pa+1000\: kg/m^2\cdot 2\: m\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,21\cdot 10^5\: Pa$

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Esercizio 53 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una pallina di ferro (densità $7,9\times 10^3\: kg/m^3$ ) del diametro di $18\: mm$ è immersa in un bicchiere d’acqua. Quale è l’intensità della forza peso e della spinta di Archimede sulla pallina?

SVOLGIMENTO

Per risolvere questo esercizio ricordiamo anticipatamente che il volume di una sfera di raggio $r$ si calcola facendo

$V={4\over 3}\cdot \pi\cdot r^3$

Per cui possiamo facilmente calcolare

$F_p=V\cdot d\cdot g={4\over 3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot d\cdot g$

$F_p={4\over 3}\cdot \pi\cdot 0,009^3\: m^3\cdot 7,9\times 10^3\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\approx 0,237\: N$

Ricordiamo infine che la spinta di Archimede è una spinta diretta verso l’alto pari al peso del liquido spostato, pertanto

$F_a=V\cdot d_a\cdot g={4\over 3}\cdot \pi\cdot 0,009^3\: m^3\cdot 1\times 10^3\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\approx 0,03\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 52 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un serbatoio fornisce acqua a un condominio. Il rubinetto di un appartamento chiude il tubo dell’acqua, di sezione $1,80\: cm^2$ , esercitando una forza di $24,0\: N$ sull’acqua. A quale altezza è situato il serbatoio rispetto al rubinetto?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che la forza esercitata dall’acqua sul rubinetto esercita una pressione pari a

$p={F\over A}$

e sappiamo anche che tale pressione è dovuta all’acqua presente nel tubo che collega il serbatoio al rubinetto, è possibile pertanto calcolare tale pressione anche attraverso la legge di Stevino, ossia

$p=d\cdot h\cdot g$

assumendo che il serbatoio sia chiuso nella sua sommità e che quindi la pressione che agisce sul rubinetto sia esclusivamente quella dovuta al peso dell’acqua. Detto questo risulta che

${F\over A}=d\cdot h\cdot g\Rightarrow h={F\over A\cdot d\cdot g}={24,0\: N\over 0,00018\: m^2\cdot 1000\:kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 13,59\: m$

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Esercizio 51 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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L’esperimento di Magdeburgo (1654) dimostrò l’importanza delle forze dovute alla pressione atmosferica: due semisfere di ottone di diametro $60\: cm$ furono accostate per formare una sfera dal cui interno, mediante una pompa a vuoto, venne estratta l’aria. Due gruppi di $8$ cavalli ciascuno, che tiravano da parti opposte le semisfere, non riuscirono a separarle.

Considera le due semisfere: quale è l’asse di simmetria di ciascuna di esse?
In che modo la pressione atmosferica agisce su ciascuna delle due semisfere?
Calcola la forza necessaria a separare le due semisfere.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che l’atmosfera attorno alla sfera di ottone, le due semisfere chiuse, agisce in maniera uniforme su tutta la sfera, infatti la legge di Stevino ci dice che la differenza di pressione è dovuta esclusivamente alla differenza di quota tra un punto e l’altro, ma la sfera di ottone ha un diametro di soli $60\: cm$ quindi ininfluenti ai fini della variazione di pressione. Ne segue che la pressione atmosferica ha l’effetto di unire le due semisfere e di tenerle attaccate. Cerchiamo di calcolare quanto vale questa forza, per lo stesso ragionamento di prima su tutta la superficie della sfera viene esercitata una pressione e per la legge di Stevino tale pressione (che è la pressione atmosferica) dipende esclusivamente dalla quota che ancora una volta possiamo assumere essere sempre la stessa. A questo punto a noi non interessa la superficie della semisfera, ma interessa l’area della sua proiezione, cioè l’area del cerchio massimo. In definitiva

$p={F\over A}\Rightarrow F=p\cdot A=101325\:Pa \cdot 0,3^2\: m^2\cdot \pi\approx 2,86\cdot 10^4\: N$

Per provare a focalizzare l’esercizio immaginate di dover calcolare la forza peso dell’aria che sta sopra la vostra casa, ovviamente il tetto della vostra casa non è tutto alla stessa quota, ma come in questo esercizio la differenza di quota è irrilevante, pertanto per calcolare la forza peso faremo semplicemente $F=p\cdot A$ dove per $A$ utilizziamo l’area della proiezione del tetto, non l’area del tetto.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 50 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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I due vasi comunicanti di un tubo a U contengono rispettivamente acqua e un altro liquido, di densità minore. La colonna di acqua è alta $12\: cm$ , l’altra $20\: cm$ . Quale è la densità del liquido incognito?

SVOLGIMENTO

Sappiamo che i due liquidi saranno in equilibrio quando le due pressioni si equivarranno, pertanto

$p_{acqua}=p_{liquido}$

Noi possiamo facilmente calcolare tali pressioni utilizzando la legge di Stevino, quindi la relazione scritta sopra diventa

$d_a\cdot h_a\cdot g=d_l\cdot h_l\cdot g$

da cui

$d_l={d_a\cdot h_a\over h_l}={1000\: kg/m^3\cdot 0,12\: m\over 0,2\: m}=600 \: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 49 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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A livello del mare, un cubo di volume $27000\: cm^3$ e peso $3600\: N$ si trova a terra. Determina la pressione esercitata sul suolo.

SVOLGIMENTO

Ci viene chiesto di calcolare la pressione esercitata dal cubo (e dall’aria) sul suolo, pertanto

$p={F\over A}$

quindi per concludere l’esercizio ci basta calcolare l’area di una delle facce del cubo

$Spigolo=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{27000\: cm^3}=30\: cm=0,3\: m$

da cui

$p_{suolo}=p_{cubo}+p_{atm}={3600\: N\over 0,3^2\: m^2}+101325\: Pa=141325\: Pa$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 48 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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In laboratorio, versi in un tubo a U acqua da una estremità e olio dall’altra. Le densità dell’olio e dell’acqua sono, rispettivamente, $890\: kg/m^3$ e $1010\: kg/m^3$ . L’altezza della colonna d’acqua è $18\: cm$ . A che altezza arriva l’olio nell’altro ramo del tubo? Quanto vale la differenza fra i livelli superiori dell’acqua e dell’olio nei due rami?

SVOLGIMENTO

Possiamo affermare che i liquidi si distribuiranno in maniera tale per cui la pressione esercitata dall’acqua e la pressione esercitata dall’olio risulti uguale, ossia

$p_{acqua}=p_{olio}$

inoltre tali pressioni sono determinate dalla legge di Stevino, per cui

$d_a\cdot h_a\cdot g=d_o\cdot h_o\cdot g$

quindi

$h_o={d_a\cdot h_a\over d_o}={1010\: kg/m^3\cdot 0,18\: m\over 890\: kg/m^3}\approx 0,204\: m$

Quindi il dislivello tra acqua e olio è circa $2\: cm$ .

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 47 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una colonna d’acqua con una base di area $1,0\: cm^2$ esercita la stessa pressione dell’atmosfera al livello del mare. Calcola il peso della colonna di acqua.

SVOLGIMENTO

La pressione è definita come

$p={F\over A}$

quindi possiamo tranquillamente dire che

$F_p=p_{atm}\cdot A=101325\: Pa\cdot 0,0001\: m^2\approx 10\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 46 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un boccione d’acqua è collegato tramite un sottile tubo cilindrico al rubinetto del distributore d’acqua. Eventualmente al posto del rubinetto si può collegare un manometro. Il livello dell’acqua si trova all’altezza $h=50\: cm$ dal tubo, come mostrato nella figura.

Calcola la pressione dell’acqua nei punti $A$ , $B$ e $C$ del tubo dovuta alla forza peso dell’acqua.
Come cambiano i valori se il livello dell’acqua scende fino al punto $D$ situato a un’altezza pari a $h/2$ ?

Il boccione viene poi sostituito con uno nuovo più piccolo. Collegando il manometro si misura una pressione dell’acqua di $6500\: Pa$ . Quale è il livello dell’acqua nel nuovo boccione?

SVOLGIMENTO

Innanzitutto osserviamo che, dalla legge di Stevino, si evince in maniera chiara che la differenza di pressione all’interno di un fluido è dovuta esclusivamente alla differenza di altezza all’interno del fluido stesso, pertanto nel punto $A$ , $B$ e $C$ la pressione sarà uguale. Inoltre la legge di Stevino ci dice che tale pressione sarà

$p_2=p_1+d\cdot h\cdot g$

osserviamo che in questo particolare esercizio la pressione $p_1$ , ossia la pressione a livello $h=0\: m$ , è nulla perchè il bottiglione di acqua è chiuso sopra e ci viene detto esplicitamente che la pressione nei punti $A$ , $B$ e $C$ è dovuta alla forza peso dell’acqua, quindi

$p_{A,B,C}=d\cdot h\cdot g=1000\: kg/m^3\cdot 0,5\: m\cdot 9,81\: N/kg= 4905\: Pa$

Notiamo che la formula presenta una proporzionalità diretta tra $p$ e $h$ , ne segue che quando il livello dell’acqua scende alla quota $D=h/2$ si avrà anche un dimezzamento della pressione, che quindi sarà

$p_D={p_{A,B,C}\over 2}=2452,5\: Pa$

Per concludere l’esercizio, sempre utilizzando la legge di Stevino vistra sopra, possiamo calcolare facilmente il livello $h$ richiesto facendo

$h={p\over d\cdot g}={6500\: Pa\over 1000\:kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,66\: m$

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