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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 95 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

Un cubo di spigolo $l=20\: cm$ galleggia in acqua. Il cubo è immerso per un tratto lungo $11\: cm$ . Determina la densità del cubo.

SVOLGIMENTO

Siccome il cubo in quella configurazione galleggia vuol dire che la spinta di Archimede relativa alla parte immersa in acqua e la forza peso sono di pari modulo, ossia

$F_a=F_p$

$V_{imm}\cdot d_a\cdot g=V_{tot}\cdot d\cdot g$

$d={V_{imm}\cdot d_a\over V_{tot}}={0,2\cdot 0,2\cdot0,11\: m^3\cdot 1000\: kg/m^3\over 0,2^3\: m^3}=550\: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 94 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una boa sferica di massa $10\: kg$ e raggio $30\: cm$ è legata all’estremità di una fune elastica, che ha l’altro capo fissato in fondo al mare ( $d=1018\: kg/m^3$ ). La boa galleggia e il volume emerso è $1/6$ del volume totale. La costante elastica della fune è $800\: N/m$ . Di quanto è allungata la fune rispetto alla sua lunghezza originaria?

SVOLGIMENTO

La forza che allunga la molla è la differenza tra la spinta di Archimede e la forza peso. Quindi, utilizzando tale forze insieme alla legge di Hooke, possiamo scrivere che

$F=\Delta x\cdot k\Rightarrow F_a-F_p=\Delta x\cdot k$

$\Delta x={F_a-F_p\over k}={V\cdot d\cdot g-m\cdot g\over k}$

$\Delta x={5/6\cdot 4/3\cdot \pi\cdot r^3\cdot d\cdot g-m\cdot g\over k}$

$\Delta x={10/9\cdot \pi\cdot 0,3^3\: m^3\cdot 1018\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg-10\: kg\cdot 9,81\: N/kg\over 800\: N/m}\approx 1,05\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 93 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una piattaforma di legno di pino (densità $550\: kg/m^3$ ) galleggia in mare (densità $1025\: kg/m^3$ ). La piattaforma è lunga $7,5\: m$ , larga $3,4\: m$ e spessa $0,38\: m$ . Determina il peso massimo aggiuntivo che può essere posto sulla piattaforma senza farla affondare.

SVOLGIMENTO

La piattaforma affonderà quando la spinta di Archimede sarà inferiore alla forza peso, quindi il limite massimo si avrà quando

$F_a=F_p$

$V\cdot d_a\cdot g=F_p^{aggiuntivo}+F_p^{piattaforma}$

$F_p^{aggiuntivo}=V\cdot d_a\cdot g-F_p^{piattaforma}$

$F_p^{aggiuntivo}=V\cdot d_a\cdot g-V\cdot d_p\cdot g=V\cdot g\cdot (d_a-d_p)$

$F_p^{aggiuntivo}=(7,5\cdot 3,4\cdot 0,38)\: m^3\cdot 9,81\: N/kg\cdot (1025\: kg/m^3-550\: kg/m^3)\approx 4,5\cdot 10^4\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 92 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Puoi schematizzare un sommergibile come un cilindro che ha un diametro di base di $3,0\: m$ mentre la lunghezza del cilindro misura $20,0\: m$ . Il sommergibile è immerso in acqua di mare (densità $1030\: kg/m^3$ ) e il suo punto più alto si trova a una profondità di $50\: m$ . Quale è la forza esercitata dall’acqua sulle due basi? Quale è la spinta verso l’alto che il sommergibile riceve?

SVOLGIMENTO

Osserviamo esplicitamente che la pressione sulle due basi del cilindro non viene esclusivamente dalla pressione dell’acqua, ma anche dalla pressione dell’atmosfera esercitata sul livello del mare. Una volta detto questo, utilizzando insieme la legge di Stevino e la definizione di pressione, possiamo scrivere che

$p={F\over A}\Rightarrow F=p\cdot A\Rightarrow F=(p_{atm}+d_a\cdot h\cdot g)\cdot r^2\cdot \pi$

da cui

$F=(101325\: Pa+1030\: kg/m^3\cdot 51,5\: m\cdot 9,81\: N/kg)\cdot 1,5^2\: m^2\cdot \pi\approx 4,39\cdot 10^6\: N$

dove come $h$ abbiamo scelto di mettere il centro della base del cilindro e non il suo punto più alto.
Per calcolare invece la spinta di Archimede sappiamo che

$F_a=V\cdot d_a\cdot g=1,5^2\: m^2\cdot \pi\cdot 20\: m\cdot 1030\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg\approx 1,43\cdot 10^6\: N$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 91 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un oggetto pesa $280\: N$ . Quando l’oggetto è completamente immerso in acqua, un dinamometro misura un peso pari a $180\: N$ . Determina la densità dell’oggetto.

SVOLGIMENTO

Sappiamo che in un contesto di questo genere il dinamometro misura la differenza tra la forza peso e la spinta di Archimede, ossia

$F_{dina}=F_p-F_a$

$F_{dina}=F_p-V\cdot d_a\cdot g$

a questo punto, siccome dobbiamo calcolare la densità dell’oggetto e $d=m/V$ , sostituiamo al posto del volume la formula $V=m/d$ in maniera tale da far comparire la nostra incognita all’interno della formula. Da cui

$F_{dina}=F_p-{m\over d}\cdot d_a\cdot g$

$F_{dina}=F_p-{m\cdot g\over d}\cdot d_a=F_p-{F_p\over d}\cdot d_a$

$d={F_p\cdot d_a\over F_p-F_{dina}}={280\: N\cdot 1000\: kg/m^3\over 280\: N-180\: N}=2800\: kg/m^3$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 90 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Una falda acquifera sotterranea, chiusa tra due strati di terreno impermeabile, segue l’andamento del suolo come nella figura. Si scavano tre pozzi (detti pozzi artesiani) per raggiungere la falda nei punti $A$ , $B$ e $C$ . Ogni pozzo viene poi chiuso con un tappo di superficie $2,0\: dm^2$ . Se si tolgono i tappi, quanto è alto ogni zampillo? Quale forza sopporta ciascun tappo, a causa dell’acqua sottostante?

SVOLGIMENTO

Se consideriamo il sistema formato dalla falda e dai tre pozzi come un sistema di vasi comunicanti possiamo affermare che dal pozzo $B$ uscirà uno zampillo alto $8\: m$ mentre dal pozzo $C$ uno zampillo di $5\: m$ , tali zampilli saranno tali da portare il livello dell’acqua al livello del pozzo $A$ , punto più alto del sistema. Vediamo ora di calcolare la forza che l’acqua esercita sui tre pozzi. Sul pozzo $A$ , che si trova all’altezza massima, la pressione dell’acqua all’interno è nulla pertanto avremo $F_A=0\: N$ , per calcolare la pressione nei punti $B$ e $C$ utilizziamo la legge di Stevino e calcoliamo che

$p_B=d\cdot h_B\cdot g=1000\: kg/m^3\cdot 8\: m\cdot 9,81\: N/kg=78480\: Pa$

$p_C=d\cdot h_C\cdot g=1000\: kg/m^3\cdot 5\: m\cdot 9,81\: N/kg=49050\: Pa$

Da qui, utilizzando la definizione di pressione, possiamo facilmente calcolare la forza esercitata dall’acqua

$p={F\over A}\Rightarrow F=p\cdot A$

$F_B=p_B\cdot A=78480\: Pa\cdot 0,02\: m^2=1569,6\: N$

$F_C=p_C\cdot A=49050\: Pa\cdot 0,02\: m^2=981\: N$

Noto esplicitamente che avremmo anche potuto unire direttamente le due formule e utilizzare la formula

$F=d\cdot h\cdot g\cdot A$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 89 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un cubo di ferro (densità $7860\: kg/m^3$ ) di volume $6,4\cdot 10^{-5}\: m^3$ è appeso a una molla di costante elastica $65\: N/m$ . Il cubo viene immerso completamente in acqua. Determina l’allungamento della molla quando il cubo è completamente immerso.

SVOLGIMENTO

La forza che determina l’allungamento della molla sarà la risultante tra la spinta di Archimede e la forza peso del cubo di ferro. Pertanto, utilizzando anche la legge di Hooke che regola la proporzionalità tra l’allungamento della molla e la forza applicata alla molla, possiamo scrivere

$F_p-F_a=\Delta x\cdot k$

$\Delta x={V\cdot d_f\cdot g-V\cdot d_a\cdot g\over k}={V\cdot g\cdot (d_f-d_a)\over k}$

$\Delta x={6,4\cdot 10^{-5}\: m^3\cdot 9,81\: N/kg\cdot (7860\: kg/m^3-1000\: kg/m^3)\over 65\: N/m }\approx 0,066\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 88 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un’imbarcazione che ha una massa di $100\: kg$ può essere schematizzata come una scatola di dimensione $1,000\: m\times 0,500\: m\times 0,500\: m$ . Quale è il volume di acqua di mare (densità pari a $1028\: kg/m^3$ ) che ha una massa uguale a quella dell’imbarcazione? Per spostare questo volume d’acqua e galleggiare, di quanto deve essere immersa l’imbarcazione?

SVOLGIMENTO

Per rispondere alla prima domanda utilizziamo in maniera banale la definizione di densità

$d={m\over V}\Rightarrow V={m\over d}$

$V={100\: kg\over 1028\: kg/m^3}\approx 0,0973\: m^3$

Per concludere il problema calcoliamo quale deve essere l’altezza di un parallelepipedo di base $1,000\: m\times 0,500\: m$ per avere un volume uguale a quello calcolato prima, e siccome

$V=larghezza\cdot profondità\cdot altezza$

$altezza={V\over larghezza\cdot profondità}={0,097\: m^3\over 1\: m\cdot 0,5\: m}\approx 0,195\: m$

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 87 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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Un oggetto pesa $1300\: N$ e ha un volume di $0,15\: m^3$ . Determina se l’oggetto galleggia quando è immerso in acqua. Determina se l’oggetto galleggia quando è immerso in olio (densità $800\: kg/m^3$ ).

SVOLGIMENTO

Un corpo galleggia all’interno di un fluido quando la spinta di Archimede, che sappiamo avere modulo uguale al peso del fluido spostato, supera la forza peso del corpo, quindi dobbiamo provare che

$F_p\leq F_a$

$F_p\leq V\cdot d_f\cdot g$

$1300\: N\leq 0,15\: m^3\cdot 1000\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg=1471,5\: N$

quindi il corpo galleggia in acqua. Ripetiamo lo stesso conto sostituendo a $d_f$ la densità dell’olio per scoprire se tale oggetto galleggerà nell’olio.

$F_p\leq V\cdot d_f\cdot g$

$1300\: N\leq 0,15\: m^3\cdot 800\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg=1177,2\: N$

Quindi all’interno dell’olio tale oggetto non riuscirà a galleggiare.

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Esercizi di fisica, L'equilibrio dei fluidi

Esercizio 86 sull’equilibrio dei fluidi – Esercizi svolti – FISICA

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La camera iperbarica è un ambiente a pressione controllata che consente di effettuare terapie particolari. Introducendo aria dall’esterno, si porta la pressione interna a valori superiori rispetto alla pressione atmosferica. In tal modo l’ossigeno è trasportato nel sangue di un paziente con maggior facilità, perchè si trova a una pressione maggiore nei capillari. Un tecnico monitora costantemente la pressione dentro la camera per mezzo di un manometro costituito da un tubo a U come nella figura, di lunghezza $32,0\: cm$ e sensibilità $10\: Pa$ . Il manometro contiene un olio di densità $850\: kg/m^3$ , una sua estremità è collegata alla camera e l’altra è aperta. La pressione nella camera supera quella atmosferica di $1800\: Pa$ .

Da quale parte del tubo il livello dell’olio è più alto?
Quanto vale il dislivello tra le due colonne del tubo?
Quale è il massimo valore di pressione misurabile?

SVOLGIMENTO

Siccome all’interno della camera la pressione è maggiore della pressione atmosferica vuol dire che tale pressione eserciterà una forza maggiore sulla superficie dell’olio che pertanto salirà lungo il tubo dalla parte che va fuori dalla camera iperbarica. Calcoliamo ora il dislivello tra il livello $h_1$ e il livello $h_2$ , sappiamo che nel punto più basso del tubo a U la pressione esercitata a destra e sinistra deve essere uguale, pertanto

$p_1=p_2$

dove queste due pressioni possiamo determinarle con la legge di Stevino, pertanto

$p_{atm}+d_{olio}\cdot h_1\cdot g=p_{camera}+d_{olio}\cdot h_2\cdot g$

$(h_1-h_2)\cdot d_{olio}\cdot g=p_{camera}-p_{atm}$

$h_1-h_2={p_{camera}-p_{atm}\over d_{olio}\cdot g}$

$\Delta h={1800\: Pa\over 850\: kg/m^3\cdot 9,81\: N/kg}\approx 0,216\: m$

Calcoliamo ora il $\Delta p$ maggiore che si può misurare con questo manometro, ovviamente tale dislivello coincide con un $\Delta h=32\: cm$ , dopo di che l’olio uscirebbe dal manometro, ossia

$p_{atm}+d_{olio}\cdot h_1\cdot g=p_{camera}+d_{olio}\cdot h_2\cdot g$

$\Delta h\cdot d_{olio}\cdot g=\Delta p$

$\Delta p=0,32\: m\cdot 9,81\: N/kg\cdot 850\: kg/m^3\approx 2668\: Pa$

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