Prima di rispondere alla prima domanda ricordiamo il concetto di velocità media. La velocità media, definita su un moto qualunque, è calcolabile attraverso la seguente formula

   

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Pertanto in questo esercizio

   

dove il segno negativo della velocità rappresenta il fatto che l’oggetto sta tornando indietro.
Prima di rispondere alla seconda domanda ricordiamo il concetto di velocità istantanea. La velocità istantanea è la velocità che un corpo ha in un determinato istante ed è possibile calcolarla determinando la pendenza della retta tangente al grafico spazio-tempo in quel determinato punto. Pertanto per rispondere alla domanda dobbiamo trovare in che punto del grafico la retta tangente ha pendenza , per fare questo andiamo “a tentativi” e come è visibile in figura

osserviamo che l’unica retta giusta è quella tangente il grafico nell’istante ossia quella disegnata in verde.
Infine per rispondere agli ultimi due quesiti ricordiamo che quando il grafico spazio tempo “cresce” il moto ha velocità positiva, quando il grafico ha tangente parallela all’asse il moto è a velocità nulla e quando il grafico “decresce” il moto ha velocità negativa. Pertanto il punto è a velocità positiva (retta tangente crescente)

Nel punto avremo velocità nulla (retta tangente parallela all’asse e quindi con pendenza nulla)

Mentre nei punti e avremo velocità negati (retta tangente decrescente).

Prima di procedere alla risoluzione del primo punto ricordiamo il concetto di velocità istantanea. La velocità istantanea è la velocità che un oggetto possiede in un determinato istante, tale velocità può essere calcolata calcolando la pendenza della retta tangente al grafico spazio-tempo del moto. In questo particolare esercizio pertanto è possibile approssimare la velocità istantanea nell’istante calcolando la pendenza della retta blu. La retta blu passa per il punto e il punto , pertanto

   

Per rispondere alla seconda domanda facciamo due ragionamenti, uno di tipo geometrico e uno di tipo fisico (quello di tipo fisico risponderà alla terza domanda). A livello geometrico se ci fosse un istante in cui la velocità istantanea fosse uguale a allora vorrebbe dire che la retta tangente al grafico in quel determinato punto ha esattamente la stessa pendenza della retta blu, ossia è parallela alla retta blu. Risulta evidente anche dalla figura seguente che questa situazione non si verifica.

Infatti in questa figura abbiamo disegnato in verde alcune rette parallele alla retta blu e possiamo facilmente vedere che nessuna di quelle rette è tangente al grafico. Dal punto di vista fisico invece osserviamo che quando lanciamo un oggetto in aria con velocità diretta verso l’alto questo oggetto inizia a decelerare in maniera costante sotto l’azione della forza di gravità fino al punto in cui l’oggetto raggiunge la posizione più alta possibile che coincide a quella con velocità nulla a quel punto, sempre sotto l’azione della forza di gravità, inverte la sua velocità e accelera di moto uniformemente accelerato. Pertanto siccome il moto è sempre uniformemente accelerato non si possono avere due istanti con la stessa velocità.

Per rispondere alla prima domanda bisogna ricordarsi il concetto di velocità istantanea, ossia la velocità in un singolo istante. Nei grafici spazio-tempo la velocità istantanea è definita come la pendenza della retta tangente al grafico in quel determinato punto. Questo ci dice che la velocità istantanea è nulla nei tre punti in cui la retta tangente è parallela all’asse , ossia pendenza uguale a , quindi i punti , e , infatti possiamo vedere dal seguente grafico le due rette tangenti disegnate in blu e parallele all’asse .

Mentre per determinare i punti con velocità positiva bisogna cercare gli intervalli di tempo in cui il grafico “cresce”, quindi gli intervalli cha vanno da ad e da a , per determinare invece quelli con velocità negativa bisogna cercare gli intervalli di tempo in cui il grafico “decresce” quindi da a e dopo . Per rispondere alla seconda domanda ci dobbiamo ricordare che il concetto di velocità media, valido per ogni tipo di moto, è definito dalla formula

   

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Per cui

   

Infine per rispondere all’ultima domanda bisogna determinare quanti sono i punti in cui la velocità è esattamente , per fare questo ricordiamo che la velocità è una grandezza continua, ossia se la mia velocità passa da a ci sarà sicuramente almeno un’istante in cui la velocità è esattamente . Una volta osservato questo risulta chiaro che tra gli istanti e ci dovrà necessariamente essere un’istante in cui la velocità è mentre tra e ci dovranno necessariamente essere due istanti in cui la velocità è . A livello grafico potrebbero essere questi

Per rispondere alle prime due domande ci dobbiamo ricordare che il concetto di velocità media, valido per ogni tipo di moto, è definito dalla formula

   

ossia lo spazio percorso fratto il tempo necessario a percorrerlo. Per cui

   

   

Per rispondere alla seconda e terza domanda bisogna ricordarsi il concetto di velocità istantanea, ossia la velocità in un singolo istante. Nei grafici spazio-tempo la velocità istantanea è definita come la pendenza della retta tangente al grafico in quel determinato punto. Questo ci dice che la velocità istantanea è nulla nei due punti in cui la retta tangente è parallela all’asse , ossia pendenza uguale a , quindi i punti e , infatti possiamo vedere dal seguente grafico le due rette tangenti disegnate in blu e parallele all’asse .

Per rispondere all’ultima domanda utilizziamo ancora il concetto di velocità istantanea e andiamo a cercare il punto dove il grafico “cresce più velocemente”. Per rispondere a questa domanda in maniera esatta bisognerebbe calcolare la pendenza in ogni singolo punto del grafico e cercare la maggiore, quindi noi risponderemo in maniera “visiva” osservando che il punto è il punto del grafico in cui la curva “sembra” crescere più in fretta per cui quello sarà il punto in cui la velocità istantanea è maggiore.

La retta secante la curva nei punti e è la retta verde presente all’interno del disegno dell’esercizio. Per calcolare la velocità media tra tali punti necessitiamo di ricordare la definizione di velocità media, infatti

   

Per tracciare la retta tangente nel punto facciamo nel seguente modo

La retta rossa rappresenta proprio la retta tangente. Per calcolare la velocità istantanea in un determinato punto del grafico spazio-tempo ricordiamo che bisogna calcolare proprio la pendenza della retta tangente al grafico in quel punto, per cui

   

dove osserviamo esplicitamente che la retta rossa passa per i punti e per cui la pendenza della retta la calcoliamo utilizzando le coordinate e di tali punti.

Osserviamo immediatamente che il grafico spazio-tempo non è una retta, quindi il moto non è un moto a velocità costante. La velocità media è definita come

   

Inoltre nei grafici spazio-tempo la pendenza della tangente al grafico rappresenta la velocità istantanea in quel determinato istante, per cui è possibile calcolare la velocità nel punto .
La retta rossa passa dai punti e , quindi la retta rossa ha una pendenza di

   

Osserviamo immediatamente che il grafico spazio-tempo non è una retta, quindi il moto non è un moto a velocità costante. Nei grafici spazio-tempo la pendenza della tangente al grafico rappresenta la velocità istantanea in quel determinato istante, per cui è possibile calcolare la velocità nei punti e .
Partiamo dal punto , la retta rossa passa dai punti e , quindi la retta rossa ha una pendenza di

   

mentre la retta blu passa dal punto e dal punto , per cui

   

Il grafico rappresentato nell’esercizio è un grafico spazio () tempo (). Sappiamo che su tali grafici i tratti rettilinei rappresentano tratti a velocità costante dove la pendenza della porzione di retta rappresenta la velocità. Detto questo possiamo spezzare il moto del treno in quattro tratti di moto a velocità costante; nel tratto che va da a il treno si muove a velocità costante positiva, infatti lo spazio aumenta quando aumenta il tempo. Nel tratto che va da a il treno è fermo, infatti la posizione non varia mentre varia il tempo. Nel tratto che va da a il treno si muove con velocità negativa, infatti lo spazio diminuisce mentre il tempo aumenta (sostanzialmente il treno sta tornando indietro). Infine nell’ultimo tratto il treno procede di moto a velocità costante negativa, la differenza tra questo tratto e quello prima sta nella velocità che in questo caso è in modulo molto superiore (infatti la retta è più inclinata).