La velocità con cui il sasso viene lanciato verso l’alto è la velocità al tempo , mentre l’istante nel quale il sasso raggiunge la posizione massima è quello in cui la velocità del sasso è nulla. Pertanto prima calcoliamo l’accelerazione gravitazionale sulla Luna e dopo rispondiamo alle due domande. Dalla definizione di accelerazione sappiamo che

   

per cui

   

Inoltre dalla definizione di accelerazione possiamo determinare le due formule inverse

   

   

da cui

   

   

Quando abbiamo un moto descritto da un grafico velocità tempo sappiamo che l’area del piano sottesa dal grafico rappresenta lo spostamento del corpo nell’intervallo di tempo selezionato, pertanto sappiamo che tutte le aree colorate rappresentano uno spostamento. In dettaglio le aree colorate in rosso rappresentano lo spostamento dovuto alla variazione di velocità, ogni istante successivo questo spostamento aumenta perchè la velocità aumenta e quindi a parità di tempo percorre più spazio. Per calcolare l’area rossa possiamo utilizzare la formula dell’area del triangolo e trovare

   

che è esattamente uguale al termine finale della legge oraria. L’area azzurra invece rappresenta la componente dovuta alla velocità iniziale del corpo ed è calcolabile con la formula dell’area del rettangolo

   

Come ultima cosa osserviamo che se aumentasse la velocità iniziale l’area rossa non cambierebbe mentre l’area azzurra aumenterebbe in quanto il termine è contenuto esclusivamente nella formula di .

Sappiamo che i grafici velocità-tempo rappresentati da una retta descrivono un moto uniformemente accelerato e l’accelerazione è uguale alla pendenza della retta. Pertanto è possibile determinare l’accelerazione del moto facendo

   

A questo punto conosciamo tutto per poter scrivere la legge oraria

   

Calcoliamo ora lo spazio percorso senza utilizzare la legge oraria appena determinata, infatti sappiamo anche che nei grafici velocità-tempo lo spazio percorso si può calcolare calcolando l’area di piani sotteso dal grafico, pertanto per rispondere alla domanda basta calcolare l’area del trapezio delimitato dal segmento rosso e dall’asse . Per cui

   

Sappiamo che nei grafici spazio-tempo la velocità istantanea è la pendenza della retta tangente al grafico in quel determinato istante. Pertanto per rispondere, almeno in tutti i punti tranne nel , ci basta calcolare la pendenza delle rette tratteggiate. La pendenza di una retta si calcola facendo

   

pertanto

   

   

   

Infine vediamo che la tangente al grafico passante per il punto è parallela all’asse , quindi ha pendenza nulla, pertanto .

Sappiamo che quando abbiamo un moto descritto tramite il grafico velocità-tempo è possibile determinare lo spazio percorso in un determinato intervallo di tempo calcolando l’area del piano sotteso dal grafico. Pertanto l’area del trapezio delimitato dal segmento rosso e dall’asse rappresenta lo spazio percorso dall’auto A, mentre l’area del rettangolo compreso tra il segmento blu e l’asse è lo spazio percorso dall’auto B. Da cui

   

   

pertanto la distanza tra A e B sarà di .

Prima di affrontare in maniera esplicita le varie domande ricordiamo come si leggono i grafici velocità tempo. Nei grafici velocità tempo i moti uniformemente accelerati sono descritti da delle rette, quando queste rette hanno pendenza positiva (cioè sono crescenti) siamo di fronte a moti con accelerazione positiva, quando queste rette sono parallele all’asse siamo di fronte a moti con accelerazione nulla (ossia moti a velocità costante) e infine quando la pendenza della retta è negativa (quindi la retta è decrescente) siamo di fronte a moti con accelerazione negativa. Nel nostro moto specifico la formica parte con velocità costante a per i primi dopo inizia a rallentare e fino a la velocità della formica è positiva, dopo quel tempo la velocità torna ad aumentare ma con segno negativo (ossia la formica sta tornando indietro). La formica dopo sarà tornata più indietro rispetto al punto di partenza, infatti nel tratto di velocità di con velocità positive le velocità sono costantemente inferiori (in valore assoluto) al tratto di con velocità negative. Osserviamo esplicitamente che sarebbe facile calcolare le distanze percorse nei due tratti sopra indicati, basterebbe calcolare l’area della parte di piano sottesa dal grafico e si vedrebbe che la strada percorsa con velocità negativa è superiore a quella percorsa con velocità positiva.

La legge oraria che descrive lo spazio percorso da un oggetto di moto uniformemente accelerato e partenza da fermo è

   

pertanto, deducendo dal grafico sia che , possiamo calcolare le due accelerazioni, infatti

   

   

Dopo è possibile osservare che la moto A si trova a dal punto di partenza, mentre la moto B si trova a dalla partenza, pertanto la distanza tra le due moto è . Infine se sono posizionato dopo la partenza vedrò passarmi davanti prima la moto A, dopo esattamente , poi la moto B dopo ulteriori .

Sappiamo che nel grafico velocità-tempo i tratti rettilinei rappresentano moti ad accelerazione costante dove l’accelerazione è la pendenza della retta. Nel dettaglio i tre tratti rettilinei presenti in questo esercizio sono rispettivamente con accelerazione positiva, accelerazione nulla (quindi un moto a velocità costante) ed infine ad accelerazione negativa. Inoltre sappiamo anche che quando abbiamo un moto descritto tramite il grafico velocità-tempo lo spazio percorso è esattamente uguale all’area del sotto-grafico. Per calcolare tale area, e quindi rispondere alla prima domanda, dividiamo l’area in tre figure, ossia

Da cui

   

   

   

   

Infine per scrivere le tre leggi orarie necessitiamo di calcolare le tre accelerazioni, quindi

   

   

   

da cui otteniamo le tre leggi orarie

   

   

   

Inizialmente osserviamo il grafico (disegnato in rosso) e vediamo che non è una retta, per cui il moto descritto non è un moto ad accelerazione costante. In blu hanno invece riportato la retta tangente al grafico nell’istante , utile per la risoluzione del primo quesito.
Prima di procedere con la risoluzione dell’esercizio ricordiamo che l’accelerazione istantanea è l’accelerazione che un determinato oggetto possiede in un istante preciso. Per calcolarla basta determinare la pendenza della retta tangente al grafico velocità-tempo in quel determinato istante. Pertanto per risolvere il primo punto ci basta calcolare la pendenza della retta blu. La retta blu passa sicuramente dai punti e da cui

   

Per risolvere il secondo punto invece ricordiamo che l’accelerazione media, definita su ogni tipo di moto, è la variazione di velocità fratto il tempo necessario ad ottenere tale variazione, ossia

   

per cui

   

Inizialmente osserviamo il grafico (disegnato in rosso) e vediamo che non è una retta, per cui il moto descritto non è un moto ad accelerazione costante. In blu hanno invece riportato la retta tangente al grafico nell’istante , utile per la risoluzione del secondo quesito.
L’accelerazione media, definita su ogni tipo di moto, è la variazione di velocità fratto il tempo necessario ad ottenere tale variazione, ossia

   

per cui

   

Per quanto invece riguarda il secondo quesito ricordiamo il concetto di accelerazione istantanea. L’accelerazione istantanea è l’accelerazione che un determinato oggetto possiede in un istante preciso. Per calcolarla basta determinare la pendenza della retta tangente al grafico velocità-tempo in quel determinato istante. Pertanto per risolvere il punto due ci basta calcolare la pendenza della retta blu. La retta blu passa sicuramente dai punti e da cui