Esercizio 37 sui vettori e le forze – Esercizi svolti – FISICA

La figura mostra i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ . Il lato di ogni quadratino vale $1$ .

Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec{A}\times\vec{B}$ . Quale è il verso del vettore $\vec{C}= \vec{A}\times\vec{B}$ ?

SVOLGIMENTO

Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore del quale verso e direzione sono facili da determinare utilizzando la regola della “mano destra”, per quanto invece riguarda il modulo sappiamo che tale modulo si ricava con la formula

$A\times B=A\cdot B\cdot \sin{ \widehat{AB}}$

Dove $\widehat{AB}$ è l’angolo compreso tra il vettore $\vec{A}$ e il vettore $\vec{B}$ . Siccome conosciamo i moduli dei due vettori l’unica incognita dell’esercizio sarà quindi $\sin{ \widehat{AB}}$ , vediamo come possiamo calcolarlo. Usando le formule trigonometriche sul triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il vettore $\vec{B}$ e come cateti due quadratini (lungo il vettore rosso $\vec{A}$ ) e tre quadratini verticalmente dalla punta del vettore $\vec{B}$ fino al vettore $\vec{A}$ , possiamo scrivere che

$3=B\cdot \sin{\widehat{AB}}=\sqrt{2^2+3^2}\cdot \sin{\widehat{AB}}$

da cui

$\sin{\widehat{AB}}={3\over \sqrt{13}}$

per cui

$A\times B=7\cdot \sqrt{13}\cdot {3\over \sqrt{13}}=7\cdot 3=21$

Per determinare il verso attraverso la regola della mano destra bisogna, utilizzando la mano destra, sovrapporre il pollice al vettore $\vec{A}$ e l’indice al vettore $\vec{B}$ , ricordiamo esplicitamente che il prodotto vettoriale non è commutativo, il verso del prodotto vettoriale è il verso del dito medio. Pertanto in questo esercizio il prodotto vettoriale sarà perpendicolare ai vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ , come sempre, ed “uscirà” dal foglio.

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